Во-первых, выучивать JavaScript не нужно. Это не стихотворение. Это инструмент. Чтобы пользоваться этим инструментом, надо понимать как он работает. Для этого достаточно вдумчиво почитать вот этот сайт. Выполнить там все задания. На это у вас уйдёт 2-3 недели (если не сидеть там 24/7).
Во-вторых, jQuery - это фреймворк, написанный на языке JavaScript, т.е. по сути это список функций, которые облегчают написание скриптов. Но как работает JavaScript знать всё равно надо, чтобы вы понимали, почему в вас получается тот или иной результат, как отлавливать ошибки и почему они возникают и т.п.
В третьих, чтобы верстать кроссбраузерно нужен просто опыт. Специальных инструментов для этого нет. Просто смотрите ваш сайт во всех браузерах и исправляйте косяки. Со временем вы поймёте, что косяки всё время одни и те же и научитесь их избегать.